Algebarske strukture i prostori


Osobine nekih bitnih operacija:
Komutativnost binarne operacije +
∀ a, b [ a + b = b + a ]
Asocijativnost binarne operacije +
∀ a, b, c [ ( a + b ) + c = a + ( b + c) ]
Distributivnost sa leve strane
∀ a, b, c [ a* ( b + c ) = a* b + a * c ) ]
Distributivnost sa desne strane
∀ a, b, c  [ ( a + b ) * c = a * c + b * c ]
Osobine nekih posebnih elemenata:
Neutralan element ili neutral
∃ e  [ e + a = a + e = a ]
Primeri:
    1 je oznaka za e*
    0 je oznaka za e+
Inverzan element ili inverz ( najcesce oznake: a-1, -a)
∀ a ∃b  [ a + b = e ]
Strukture:
Grupoid ( X, + )
• Jedna Binarna operacija

Polugrupa, semi grupa, asocijativni grupoid ( X, + )
• ( X, + ) je Grupoid
• + je asocijativna ∀ a, b, c [ ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ]

Abelova ili komutativna polugrupa ( X, + )
• ( X, + ) je Polugrupa
• + je komutativan

∀ a, b [ a + b = b + a ]


Kvazi grupa( X ∪ { e }, + )
• ( X, + ) je Polugrupa
• Poseduje neutral
• svaki element ima inverz

Grupa( X ∪ { e }, + )
• ( X, + ) je Polugrupa
• Poseduje neutral ∀ a  [ e + a = a + e = a ]
• svaki element ima inverz ∀ a ∃b  [ a + b = e ]

Abelova grupa ili komutativna grupa ( X ∪ { e }, + )
• ( X, + ) je Grupa
•  + je komutativan  ∀ a ,b [ a + b = b + a ]

Prsten( X ∪ { 0 }, +, * )
• ( X, + ) je Abelova grupa
•   ∀ a, b, c [ a * ( b + c ) = a * b + b * c ]
•   ∀ a, b, c [ ( b + c ) * a = b * a + b * c ]

Asocijativan prsten( X ∪ { 0 }, +, * )
• ( X ∪ { 0 }, +, * ) je Prsten
• ( X, * ) je polugrupa

Prsten sa jedinicom( X ∪ { 0, 1 }, +, * )
• ( X, * ) ima neutral   ∀ a [ 1 * a = a * 1 ]

Telo( X ∪ { 0, 1 }, +, * )
• ( X ∪ { 0 }, +, * ) je Prsten
• ( X \ { 0 }, * ) je grupa
• 1 je neutral u ( X , * )   ∀ a [ 1 * a = a * 1 ]

Polje( X ∪ { 0, 1 }, +, * )
• Komutativno telo

Vektorski prostor nad poljem K
• ( V ∪ { 0 }, + ) komutativna grupa
• ∀ a ∈ K, ∀ u, v ∈ V [ a * ( u + v ) = a * u + b * v ]
• ∀ a ∈ K, ∀ u, v ∈ V [ ( a + b ) * u = a * u + b * u ]
• ∀ a ∈ K, ∀ u, v ∈ V [ a * ( b * u ) = ( a * b ) * u ]

Algebra
• ( V, +V, *) je Vektorski prostor
• ( K, +K, * ) je prsten
• ∀ a,b ∈ K, ∀ u, v ∈ V [ ( a * u ) * ( b * v ) = ( a * b ) * ( u * v ) ]

Metricki prostor ( M, d )
• d : M2 → R
• ∀ x, y [ 0 ≤ d( x, y ) ]
• d( x, y ) = 0 ⇔ x = y
• ∀ x, y [ d( x, y ) ≤ d( x, y ) + d( y, z ) ]

Normiran vektorski prostor ( V, K, || · || )
• || · ||: V → K
• ∀ u ∈ V [ 0 ≤ || u || ]
• || u || = 0 ⇒ u = 0
• ∀ λ ∈ K, ∀ u ∈ V [ || λ * u || = |λ|* || u || ]
• ∀ u, v ∈ V [ || u + v || ≤ || u || + || v || ]


- Separabilan prostor
- - Poseduje svuda gust niz tacaka

- Banahov prostor
- - Normiran vektorski prostor
- - Kompletan u normi


- Ermitska forma
- - ( u | v ) : E2 →K
- - ( α * u + β * v | w ) = α * ( u | w ) + β * ( v | w )

- - ( u | v ) = ( v | u )


- Skalarni prizvod
- - < u, v >: X 2 → K
- - - Ermitska forma
- - - (u|u)=0 ⇔ u = 0

- Unitaran ili prethilbertov
- - Poseduje skalarni proizvod

- Hilbertov
- - Prethilbertov
- - Kompletan u normi || u || = √ < x, x >

Bulova algebra B( B ∪ { 0, 1 } , ∪, ∩, C )
  dualni 
x ∩  x = x
x ∩  ( x ∪  y ) = x - Utapanje
x ∩  y = y ∩  x - komutativnost
x ∩  0 = 0
x ∩  1 = x
x ∩  xC = 0
x ∩  ( y ∪  z ) = ( x ∩  y ) ∪  ( x ∩  z )   
x ∪  x = x
x ∪  ( x ∩  y) = x - Utapanje
x ∪  y = y ∩  x - komutativnost
x ∪  0 = x
x ∪  1 = 1
x ∪  xC = 1
x ∪  ( y ∩  z ) = ( x ∪  y ) ∩  ( x ∪  z )


Mreza M( M, ∧, ∨ )
  dualni 
x ∨  x = x
x ∨  y = y ∨  x - Komutativnost
( x ∨  y ) ∨  z = x ∨  ( y ∨  z ) -Asocijativnost
x ∨  ( y ∧  z ) = x - Utapanje
 
x ∧  x = x
x ∧  y = y ∧  x - Komutativnost
( x ∧  y ) ∧  z = x ∧  ( y ∧  z ) -Asocijativnost
x ∧  ( y ∨  z ) = x - Utapanje


Distributivna mreza
• M je mreza
• x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z )
• posledica x ∨ ( y ∧ z ) = ( x ∨ y ) ∧ ( x ∨ z )


Uredjena mreza
• M je mreza
• ∀ ( x, y) ∃ ( z, t )
     z = sup{x,y} = max( x,y )
     t = inf{ x, y } = min( x, y )



- Uredjen Skup
- Totalno uredjen skup
- Kompletno totalno uredjen skup