Parcijalne jednacine

Uvod

- oznake
- Realna simetricna matrica ima realne sopstvene vrednosti.
- Lezandrova jednacina
- - ((1-x2)y')' + n(n+1)y = 0
- - Razlomljena
- - - ((1-x2)y')' + (n(n+1)-m2/(1-x2)))y = 0
- Beselova
- - -x2y''+xy'+(x2-n2)y=0
- - Razlomljena
- - - x2y''+xy'+(x2-(n+1/2))2y=0
- Gamma f-ja
- - Definicija
- - Osobine
- Linearne jednacine jedne promenjive sa C.C
- - ∑aiy( i )=ƒ( x )
- - Homogena
- - Nehomogena
- - Lagranzeova metoda
- - Metoda izbora
- Parcijalne I reda
- - Linearna
  a( x, y ) ux + b( x, y) uy +c( x, y ) u = d( x, y )
- - Kvazi linearna
  a( x, y, u ) ux + b( x, y, u ) uy = c( x, y, u )

- Koordinatni sistemi
- - Cilindricni
- - Sferni
- - Sferni u n-dim prostor

Δu = r-1(rur)r+r-2u αα
 

Problem sopstvenih vrednosti

Helmholcova jednacina
- Δu = λ*u za Ω u = 0 za ∂Ω
- - [ 0, 1 ]
- - [ 0, 1 ]2
- - [ 0, 1 ]3
- - K( 0, r ) u ℜ2
- - K( 0, r ) u ℜ3



Elipticke jednacine


( φ ,ψ ,Ω) Δu = φ na Ω i u = ψ na ∂Ω

- Jedno dimenzioni tip
- - Grinova funkcija
- Fundamentalno resenje od Δu=0 i u = ψ na ∂Ω
- - - Dalambera  u(x0,y0) = -∫Γ ψ∂G/∂n dΓ
- - - Nojmanova u(x0,y0) = ∫Γ ψG dΓ

tip \ Ω
(0,1)2
(0,1)3
||(x,y)||<R
||(x,y,z)||<R
R×R+
R×R×R+
( 0, ψ )
Ψ
  
G & Ψ
G & Ψ
G
G
( φ, 0 )
Ψ
Ψ
G & Ψ
  
G
( +,Ψ )
G
( +, Ψ )
Nojmanov
    
Ψ
G
    
-Δu=λu
Ψ
Ψ
Ψ
      



Parabolicke jednacine

- Pausanova formula
- - prava
- - poluprava
- - interval
- Furijeova metoda
- - interval
  Homogena
  ut = a2uxx
u(0,t) =0
u(l,t) =0
u(x,0) =u0(x)
  Nehomogena
  ut = a2uxx + ƒ(x,t)
u(0,t) =0
u(l,t) =0
u(x,0) =u0(x)

- - zadatak bez pocetnih uslova
- - homogena
- - ne homogena
- - kvadrat
- - disk

Hiperbolicke jednacine


uxy =ƒ(x,y)
u(x,0) =φ(x)
u(0,y) =ψ(y)
R ×R
u = φ( x ) + ψ( x ) - φ( 0 ) -
x
y
ƒ(η,ξ)dηdξ
∫ ∫
0
0

Dalamberova formula
  utt=a2uxx
u(x,0) =φ(x)
ut(x,0)=ψ(x)
R × ( 0, ∞ )
  R: uh=( φ( x+at ) + φ( x-at ) )/2+1/(2a)
x+at
 ψ(ξ)dξ
∫
x-at


Dalamberova za nehomogenu
  utt=a2uxx + ƒ(x,t)
u(x,0) =φ(x)
ut(x,0)=ψ(x)
R × ( 0, ∞ )
R: u=uh +
1
t
x+a(t-τ)
 ψ(α)dα
∫
∫

2a

0
x-a(t-τ)